Question

【題目】已知函數f（x）=ex（其中e為自然對數的底數），g（x）= x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣ ，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若m=﹣ ，n∈N* ， 求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數n．[注意：7＜e2＜ ]．

Answer 1

【答案】
（1）解：T（x）=f（x）g（x）

=ex（ x+m）=ex（ x+1﹣ ）；

故T′（x）=ex（ x+1）；

則當n≥﹣2時，T′（x）≥0；

故T（x）在[0，1]上的最大值為T（1）=e；

當n＜﹣2時，x∈[0，﹣ ）時，T′（x）＞0；x∈（﹣ ，1]時，T′（x）＜0；

T（x）在[0，1]上的最大值為T（﹣ ）=﹣

（2）解：由題意，f（x）=ex，g（x）= x﹣ ；

故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為

F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ x+ ＞0恒成立；F′（x）=ex﹣ ；

故F（x）在（﹣∞，ln ）上是減函數，在（ln ，+∞）上是增函數；

故可化為F（ln ）＞0；即 （1﹣ln ）+ ＞0；

令G（n）= （1﹣ln ）+ ；故G′（n）=﹣ （ln +1）＜0；

故G（n）= （1﹣ln ）+ 是[1，+∞）上的減函數，

而G（2e2）=﹣e2+ ＞0；G（14）=7（1﹣ln7）+ ＞0；

G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+ ＜0；故最大正整數n為14

【解析】（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（ x+m）=ex（ x+1﹣ ）；求導T′（x）=ex（ x+1）；從而確定函數的最大值；（2）由題意，f（x）=ex，g（x）= x﹣ ；故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ x+ ＞0恒成立；從而化為最值問題．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．