Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn=an+n2﹣1，數列{bn}滿足3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan ， 且b1=3，a1=3．
（1）求數列{ an}和{bn}的通項an ， bn；
（2）設Tn為數列{bn}的前n項和，求Tn ， 并求滿足Tn＜7時n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=an+n2﹣1，

∴當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（an+n2﹣1）﹣[an﹣1+（n﹣1）2﹣1]，化為：an﹣1=2n﹣1，

又∵a1=1+2=3滿足上式，

∴an=2n+1，

∵3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan，

∴bn+1= [（n+1）an+1﹣nan]= [（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）]=（4n+3） ，

又∵b1=3滿足上式，

∴bn=（4n﹣1） ．

（2）解：由（1）可知，Tn=31+7 +11 +…+（4n﹣1） ，

Tn=3 +7 +…+（4n﹣5） +（4n﹣1） ，

錯位相減得： Tn=3+4（ + +…+ ）﹣（4n﹣1） ，

∴Tn= [3+4× ﹣（4n﹣1） ]

= ﹣ ，

Tn﹣Tn+1= ﹣ ﹣ = ＜0．

∴Tn＜Tn+1，即{Tn}為遞增數列．

又T3= ＜7，T4= ＞7，

∴Tn＜7時，n的最大值為3．

【解析】（1）Sn=an+n2﹣1，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1時滿足上式，可得an=2n+1.3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan，可得bn+1= [（n+1）an+1﹣nan]=（4n+3） ，又b1=3滿足上式，可得bn=（4n﹣1） ．（2）利用錯位相減法與等比數列的求和公式可得Tn．可得Tn﹣Tn+1＜0．即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．