Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=aex﹣xlnx，其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若 ，證明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)等價(jià)于f'（x）≥0恒成立．

令f'（x）≥0，得 ，令 （x＞0）．以下只需求g（x）的最大值．

求導(dǎo)得 ，

令 ， ，h（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，

又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零點(diǎn)，

當(dāng)x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）遞增；

當(dāng)x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）遞減；

故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值且為最大值 ，

所以 ，即a的取值范圍是 ．

證明：（Ⅱ）f（x）＞0 ．

令F（x）= （x＞0），以下證明當(dāng) 時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值大于0．

求導(dǎo)得 = ．

①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）≥F（1）=ae＞0；

②當(dāng)x＞1時(shí)， ，令 ，

則G'（x）=ex ，又 = ，

取m∈（1，2）且使 ，即 ，則 ＜e2﹣e2=0，

因?yàn)镚（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零點(diǎn)x0∈（1，2），

即F（x）有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)x0∈（1，2），又 ，

且 ，即 ，故 ，

因?yàn)? ，故F（x0）是（1，2）上的減函數(shù)．

所以F（x0）＞F（2）=1﹣ln2＞0，所以F（x）＞0．

綜上，當(dāng) 時(shí)，總有f（x）＞0

【解析】（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)等價(jià)于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得 ，令 （x＞0），求導(dǎo)得 ，令 ， ，由此能求出a的取值范圍．（Ⅱ）f（x）＞0 ．令F（x）= （x＞0），當(dāng) 時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值大于0．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng) 時(shí)，總有f（x）＞0．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．