Question

【題目】已知函數。

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) 函數f(x)的單調遞減區間是(0， )；單調遞增區間是(，＋∞);(2) a≤－.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，再通過討論a的范圍，從而求出其單調區間，（Ⅱ）由g(x)＝＋x2＋2aln x得g′(x)＝－＋2x＋，建立新函數，求出其最小值，解出即可．

試題解析：

（Ⅰ）函數f(x)的定義域為(0，＋∞).

①當a≥0時，f′(x)＞0，f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)；

②當a＜0時，f′(x)＝.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：

x	(0， )		(，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		極小值

由上表可知，函數f(x)的單調遞減區間是(0， )；單調遞增區間是(，＋∞).

（Ⅱ ）由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－＋2x＋，

由已知函數g(x)為[1,2]上的單調減函數，則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，

即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．即a≤－x2在[1,2]上恒成立.

令，則h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)

，所以h(x)在[1,2]上為減函數，

h(x)min＝h(2)＝－， 所以a≤－.