【題目】已知函數
．
（Ⅰ）當
時，求函數
的極小值；
（Ⅱ）設定義在
上的函數
在點
處的切線方程為
：
，當
時，若
在內恒成立，則稱
為函數
的“轉點”．當
時，試問函數是否存在“轉點”？若存在，求出轉點的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）當
時，函數
取到極大值為
，當
時，函數取到極小值為-2.
（2）函數
存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標.
【解析】試題分析：（1）先求導,令導數大于0得增區間,令導數小于0得減區間,根據單調性求最值. （2）求導,根據導數的幾何意義得點
處切線的斜率,根據點斜式得切線方程,從而可得
的解析式,因為是函數
圖像和切線的交點,則
.將函數求導,用導數求其單調性,討論
的取值范圍判斷
是否恒成立.
試題解析：解：（1）當
時，
當
，當
，
所以函數在
和
單調遞增，在
單調遞減，
所以當時，函數取到極大值為，
當時，函數取到極小值為-2. 6分
（2）當
時，函數在其圖像上一點處的切線方程為
8分
設
且
當
時，
在
上單調遞減，
所以當
時，
；
當
時，在
上單調遞減，
所以當
時，
；
所以在
不存在“轉點” 11分
當
時，
，即在
上是增函數.
當
時，
當
時，
即點為“轉點”.
故函數存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標. 12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右焦點與其短軸得一個端點是正三角形的三個頂點，點
在橢圓
上，直線
與橢圓交于
兩點，與
軸， 
軸分別相交于點
合點
，且
，點
時點
關于
軸的對稱點， 
的延長線交橢圓于點
，過點
分別做
軸的垂線，垂足分別為
.
（1） 求橢圓
的方程；
（2）是否存在直線
，使得點
平分線段
？若存在，請求出直線
的方程；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拖延癥總是表現在各種小事上，但日積月累，特別影響個人發展．某校的一個社會實踐調查小組，在對該校學生進行“是否有明顯拖延癥”的調查中，隨機發放了110份問卷．對收回的100份有效問卷進行統計，得到如下
列聯表：
有明顯拖延癥 | 無明顯拖延癥 | 合計 | |
男 | 35 | 25 | 60 |
女 | 30 | 10 | 40 |
合計 | 65 | 35 | 100 |
（Ⅰ）按女生是否有明顯拖延癥進行分層，已經從40份女生問卷中抽取了8份問卷，現從這8份問卷中再隨機抽取3份，并記其中無明顯拖延癥的問卷的份數為
，試求隨機變量
的分布列和數學期望；
（Ⅱ）若在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為無明顯拖延癥與性別有關，那么根據臨界值表，最精確的
的值應為多少？請說明理由．
附：獨立性檢驗統計量
，其中
．
獨立性檢驗臨界值表：
| 0．25 | 0．15 | 0．10 | 0．05 | 0．025 |
| 1．323 | 2．072 | 2．706 | 3．841 | 5．024 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司試銷一種成本單價為500元的新產品，規定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于800元．經試銷調查，發現銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似看作一次函數y＝kx＋b(k≠0)，函數圖象如圖所示．
(1)根據圖象，求一次函數y＝kx＋b(k≠0)的表達式；
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價－成本總價)為S元．試問銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷售量是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是定義在
上的奇函數，且
.若對任意的
， 
都有
.
（1）用函數單調性的定義證明： 
在定義域上為增函數；
（2）若
，求
的取值范圍；
（3）若不等式
對所有的
和
都恒成立，求實數
的取值范圍.
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