Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣ax+b，在點M（1，f（1））處的切線方程為9x+3y﹣10=0，求
（1）實數a，b的值；
（2）函數f（x）的單調區間以及在區間[0，3]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為在點M（1，f（1））處的切線方程為9x+3y﹣10=0，

所以切線斜率是k=﹣3

且9×1+3f（1）﹣10=0，

求得 ，即點

又函數 ，則f′（x）=x2﹣a

所以依題意得

解得

（2）解：由（1）知

所以f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）

令f′（x）=0，解得x=2或x=﹣2

當f′（x）＞0x＞2或x＜﹣2；當f′（x）＜0﹣2＜x＜2

所以函數f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，2），（2，+∞）

單調遞減區間是（﹣2，2）

又x∈[0，3]

所以當x變化時，f（x）和f′（x）變化情況如下表：

X	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		﹣	0	+	0
f（x）	4	↘	極小值	↗	1

所以當x∈[0，3]時，f（x）max=f（0）=4，

【解析】（1）求出曲線的斜率，切點坐標，求出函數的導數，利用導函數值域斜率的關系，即可求出a，b．（2）求出導函數的符號，判斷函數的單調性以及求解閉區間的函數的最值．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．