Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若對任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0，都有 ．
（1）用定義證明函數f（x）在定義域上是增函數；
（2）若 ，求實數a的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≤（1﹣2a）t+2對所有和x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設任意x1，x2滿足﹣1≤x1＜x2≤1，由題意可得 ，

∴f（x）在定義域[﹣1，1]上位增函數

（2）解：由（1）知 ，

∴即a的取值范圍為

（3）證明：由（1）知f（x）max≤（1﹣2a）t+2對任意a∈[﹣1，1]都恒成立，

即1≤﹣2ta+t+2對任意a∈[﹣1，1]都恒成立，

∴ ，

即t的取值范圍為

【解析】（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，作差f（x1）﹣f（x2）后化積可判斷f（x1）﹣f（x2）＜0，從而可證明函數f（x）在定義域上是增函數；（2）利用奇函數在[﹣1，1]上單調遞增可得， 解之即可求得實數a的取值范圍；（3）由（1）知f（x）max≤（1﹣2a）t+2對任意a∈[﹣1，1]都恒成立1≤﹣2ta+t+2對任意a∈[﹣1，1]恒成立，可求得實數t的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．