Question

【題目】一列火車從重慶駛往北京，沿途有n個車站（包括起點站重慶和終點站北京）．車上有一郵政車廂，每停靠一站便要卸下火車已經過的各站發往該站的郵袋各1個，同時又要裝上該站發往以后各站的郵袋各1個，設從第k站出發時，郵政車廂內共有郵袋ak個（k=1，2，…，n）．
（1）求數列{ak}的通項公式；
（2）當k為何值時，ak的值最大，求出ak的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：a1=n﹣1，考察相鄰兩站ak，ak﹣1之間的關系，

由題意知 k= k﹣1﹣（k﹣1）+（n﹣k），∴ k﹣ k﹣1=（n+1）﹣2k（k≥2）．

依次讓k取2，3，4，…，k得k﹣1個等式，將這k﹣1個等式相加，得

k=nk﹣k2（n，k∈N+，1≤k≤n）．

（2）

解： ，

當n為偶數時，取k= ，ak取得最大值 ；

當n為奇數時，取k= 或 ， ak取得最大值 ．

【解析】本題考查二次函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數列的性質和應用．