Question

【題目】已知長度為的線段的兩個端點、分別在軸和軸上運動，動點滿足，設動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點且斜率不為零的直線與曲線交于兩點、，在軸上是否存在定點，使得直線與的斜率之積為常數.若存在，求出定點的坐標以及此常數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）設，，，由，可得由，所以代入即可求得橢圓方程；
（2）由題意設直線的方程為：，，，

將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得則

，因此存在兩個定點，，使得直線與的斜率之積為常數，使得與的斜率之積為常數．
試題解析：（1）設，，，

由于，所以 ，

即，所以，

又，所以，從而.

即曲線的方程為：.

（2）由題意設直線的方程為：，，，

由得：，

所以.

故 ，

，

假設存在定點，使得直線與的斜率之積為常數，則

.

當，且時，為常數，解得.

顯然當時，常數為；當時，常數為，

所以存在兩個定點，，使得直線與的斜率之積為常數，當定點為時，常數為；當定點為時，常數為.