Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點是曲線上一點，若點到曲線的最小距離為，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ，；(2) 或.

【解析】試題分析：（1）消去參數得到的普通方程為．利用可以把的極坐標方程化為直角坐標方程．

（2）把的直角方程轉化為參數方程，利用點到直線的距離公式算出距離為，利用得到．因為直線與橢圓是相離的，所以或，分類討論就可以得到相應的值．

解析：（1）由曲線的參數方程，消去參數 ，可得 的普通方程為：．

由曲線的極坐標方程得， ∴曲線的直角坐標方程為 ．

（2）設曲線上任意一點為 ，，則點到曲線 的距離為．∵， ∴，，

當時，，即；

當時，，即．∴或．