Question

【題目】三棱錐P﹣ABC中.AB⊥BC，△PAC為等邊三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值為，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為8π.則三棱錐體積的最大值為( )

A.1B.2C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由已知作出圖象，找出二面角的平面角，設出AB，BC，AC的長，即可求出三棱錐的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值（用含有AC長度的字母表示），再設出球心O，由球的表面積求得半徑，根據球的幾何性質，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關系求得AC的長度，則三棱錐體積的最大值可求.

如圖所示，過點P作PE⊥面ABC，垂足為E，過點E作ED⊥AC交AC于點D，連接PD，

則∠PDE為二面角P﹣AC﹣B的平面角的補角，即有cos∠PDE，

易知AC⊥面PDE，則AC⊥PD，而△PAC為等邊三角形，

∴D為AC中點，

設AB=a，BC=b，ACc，

則PE=PDsin∠PDEc，

故三棱錐P﹣ABC的體積為：Vab，

當且僅當a=b時，體積最大，此時B、D、E共線.

設三棱錐P﹣ABC的外接球的球心為O，半徑為R，

由已知，4πR2=8π，得R.

過點O作OF⊥PE于F，則四邊形ODEF為矩形，

則OD＝EF，ED=OF=PDcos∠PDE，PE，

在Rt△PFO中，（）2，解得c＝2.

∴三棱錐P﹣ABC的體積的最大值為：.

故選：D.