Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數有兩個零點，求a的取值范圍；

（Ⅱ）恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求導，對分類討論，求出單調區間，結合零點存在性定理，即可求出結論；

（Ⅱ）分離參數轉化為滿足在上恒成立時，的取值范圍，設，通過求導求出，即可求解.

（Ⅰ）由已知得x＞0，.

①當a≥0時，，此時f（x）是增函數，故不存在兩個零點；

②當a＜0時，由，得，

此時 時，，此時是增函數；

當 時， ，此時是減函數，

所以時，f（x）取得極大值，由f（x）有兩個零點，

所以，解得.

又，所以f（x）在（0，）有唯一零點.

再取，

則.

所以f（x）在有唯一實數根，

所以a的取值范圍是.

（Ⅱ）恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立.

令，則.

令，則0.

所以在上遞增，而，

故存在使得，即.

∴.

令，，

所以在上遞增，∴.

而時，，即，

所以在上遞減；

時，，即，

故在上遞增.

所以時，取得極小值，也是最小值，

，∴a≤1.

所以a的取值范圍是.