Question

【題目】已知函數（， =2.718………），

（I） 當時，求函數的單調區間；

（II）當時，不等式對任意恒成立，

求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

（2）符合題意的實數的最大值為.

【解析】試題分析：（1）求函數單調區間，即求導研究導函數的正負，導函數大于零求增區間，導函數小于零求減區間；（2）這是不等式恒成立求參的問題，轉化為， 對任意恒成立，再求導研究函數的單調性，求最值即可.

（1）

由可知，

令得 或

令得

即 此時函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

（2）當時，不等式 即

令， 對任意恒成立

又

當時， ，所以在上遞增，且最小值為

（i）當，即時， 對任意恒成立

在上遞增， 當時， 滿足題意； （ii）當，即時，

由上可得存在唯一的實數，使得，可得當時， ， 在上遞減，此時不符合題意； 綜上得，當時，滿足題意，即符合題意的實數的最大值為.