Question

【題目】設函數

，曲線

過點

，且在點

處的切線方程為

.

（1）求

的值；

（2）證明：當

時，

；

（3）若當

時，

恒成立，求實數

的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

；（2）詳見解析；（3）

.

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得

，再結合

聯立方程組，解得

的值；（2）即證明差函數

的最小值非負，先求差函數的導數，為研究導函數符號，需對導函數再次求導，得導函數最小值為零，因此差函數單調遞增，也即差函數最小值為

，（3）不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題，本題仍研究差函數

，因為

，所以

.先求差函數導數，再求導函數的導數得

，所以分

進行討論：當

時，

滿足題意；當

時，能找到一個減區間，使得

不滿足題意.

試題解析：（1）由題意可知，

定義域為

，

，

．

（2）

，

設

，

，

由

，

在

上單調遞增，

∴

，

在

上單調遞增，

．

∴

．

（3）設

,

，

，

由（2）中知

，

，

∴

，

當

即

時，

，

所以

在

單調遞增，

，成立．

②當

即

時，

，令

，得

，

當

時，

單調遞減，則

，

所以

在

上單調遞減，所以

，不成立．

綜上，

．