Question

【題目】已知為坐標原點，為坐標平面內動點，且成等差數列.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，過點作直線交于兩點(不與原點重合)，是否存在軸上一定點，使得_________.若存在，求出定點，若不存在，說明理由.從“①作點關于軸的對稱點，則三點共線；②”這兩個條件中選一個，補充在上面的問題中并作答(注:如果選擇兩個條件分別作答，按第一個解答計分)

Answer 1

【答案】（1）；（2）兩種選擇都存在 滿足條件.

【解析】

（1）設，，，由已知得關于，的關系式，整理即可求得點的軌跡方程；

（2）當選①時，設，與聯立，得關于的一元二次方程，利用根與系數的關系可得，橫坐標的和與積，寫出直線的方程，由直線系方程可得，直線過定點，說明結論成立；

當選②時，假設存在滿足條件②，設，與聯立，得關于的一元二次方程，利用根與系數的關系可得，橫坐標的和與積，由求得，說明存在滿足條件．

解：（1）設，，，

則，，

由2，，成等差數列，得，即，

即，化簡得，

點的軌跡方程為；

（2）當選①時，設，與聯立，得，

設，，，，則，，

，，

，

，化簡得，

存在滿足條件．

當選②時，假設存在滿足條件②，

設，與聯立，得，

設，，，，則，，

，，

，

，即，

存在滿足條件．