【題目】已知橢圓
的離心率為
，與
軸交于點(diǎn)
，
，過軸上一點(diǎn)
引軸的垂線，交橢圓
于點(diǎn)
，
，當(dāng)與橢圓右焦點(diǎn)重合時，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線
與直線
交于點(diǎn)
，是否存在定點(diǎn)
和
，使
為定值．若存在，求、點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
為
，
．
【解析】
（1）
是橢圓的通徑，由此已知條件可表示為
的兩個等式，結(jié)合
可求得
，得橢圓方程；
（2）設(shè)
點(diǎn)坐標(biāo)為
，
，
，不妨設(shè)
，
．在直線
可得
的關(guān)系，同理由在直線
又得一關(guān)系式，消去
可得點(diǎn)軌跡方程，軌跡是雙曲線，由雙曲線定義可作答．
（1）由題知：
，解得
，
故橢圓
的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
不妨設(shè)，．
則，
，
三點(diǎn)共線，
，①
同理：
，②
得：
，
又在橢圓上，
，
代入整理得：
．
即點(diǎn)的軌跡為雙曲線
，
取、
為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)．
即
，．
此時
為定值，故為，．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中作出
的圖象，并寫出不等式
的解集
．
（2）設(shè)函數(shù)
，
，若
，求
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為
，點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，且A，B均異于原點(diǎn)O，且|AB|=4
，求α的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù))，在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x, y, z, 用綜合指標(biāo)S =" x" + y + z評價該產(chǎn)品的等級. 若S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品. 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中, 隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:
產(chǎn)品編號 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (1,1,1) | (1,2,1) |
產(chǎn)品編號 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z) | (1,2,2) | (2,1,1) | (2,2,1) | (1,1,1) | (2,1,2) |
(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率;
(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品,
(1) 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果;
(2) 設(shè)事件B為 “在取出的2件產(chǎn)品中, 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，大概意思如下：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為2尺8寸，盆底直徑為1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中積水深9寸，則平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②1尺等于10寸；③臺體的體積
）（ ）
A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】南北朝時代的偉大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為
，被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面的面積分別為
，則“總相等”是“相等”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣a（x2+x+1）．
（1）當(dāng)a＝1時，證明：f（x）+x2≥0；
（2）當(dāng)a
時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，拋物線
與圓
的相交弦長為4.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)
為拋物線的焦點(diǎn)，
為拋物線上兩點(diǎn)，
，若
的面積為
，且直線
的斜率存在，求直線的方程.
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