Question

【題目】已知函數f（x）＝ex﹣a（x2+x+1）．

（1）當a＝1時，證明：f（x）+x2≥0；

（2）當a時，判斷函數f（x）的單調性；

（3）若函數f（x）有三個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）f（x）在R單調遞增；（3）（，1）

【解析】

（1）令，通過求導證明，即可得證；

（2）對求導，結合（1）中結論得，即可得解；

（3）由條件得有三個實根，令，求出導數后根據函數的單調性結合極值即可得解.

（1）當a＝1時，f（x）+x2≥0等價于，

令，g′（x）＝ex﹣1，

可得g（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，∴，

∴ex﹣（x+1）≥0即f（x）+x2≥0；

（2）當時，．，

∴函數f（x）在R單調遞增；

（3）函數f（x）有三個零點 有三個實根，

令，，

∴h（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

且x→﹣∞時，h（x）→0，x→+∞時，h（x）→+∞，h（0）＝1， ，

∴實數a的取值范圍是（，1）．