Question

【題目】設常數.在平面直角坐標系xOy中，已知點，直線l：，曲線Γ：（，）.l與x軸交于點A、與Γ交于點B.P、Q分別是曲線Γ與線段AB上的動點.

（1）用t表示點B到點F的距離；

（2）設，，線段OQ的中點在直線FP上，求△AQP的面積；

（3）設，是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E在Γ上？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）方法一：設B點坐標，根據兩點之間的距離公式，即可求得|BF|；

方法二：根據拋物線的定義，即可求得|BF|；

（2）根據拋物線的性質，求得Q點坐標，即可求得OD的中點坐標，即可求得直線PF的方程，代入拋物線方程，即可求得P點坐標，即可求得△AQP的面積；

（3）設P及E點坐標，根據直線kPFkFQ＝﹣1，求得直線QF的方程，求得Q點坐標，根據，求得E點坐標，則（）2＝8（6），即可求得P點坐標．

（1）方法一：由題意可知：設，

則，；

方法二：由題意可知：設，

由拋物線的性質可知：，；

（2），，，則，

，，設OQ的中點D，，

，則直線PF方程：，

聯立，整理得：，解得：，（舍去），

△AQP的面積；

（3）存在，設，，則，，

直線QF方程為，

，，

根據，則，

，解得：，

存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E在Γ上，且.