Question

【題目】已知橢圓，為左焦點，為上頂點，為右頂點，若，拋物線的頂點在坐標原點，焦點為.

（1）求的標準方程；

（2）是否存在過點的直線，與和交點分別是和，使得？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】分析：（1）由題設有，再根據可得的值，從而得到橢圓的標準方程.

（2）因為，故，設直線方程為，分別聯立直線與橢圓、直線與拋物線的方程，消去后利用韋達定理用表示，解出后即得直線方程.

詳解：（1）依題意可知，即，

由右頂點為得，解得，所以的標準方程為.

（2）依題意可知的方程為，假設存在符合題意的直線，

設直線方程為，，

聯立方程組，得，

由韋達定理得，則，

聯立方程組，得，由韋達定理得，所以，

若，則，即，解得，

所以存在符合題意的直線方程為或.