Question

【題目】橢圓經(jīng)過點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，且滿足的點(diǎn)只有兩個.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得的角平分線是軸？若存在求出，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題得點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)，得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，根據(jù)得到. 所以存在點(diǎn)，使得的平分線是軸.

解：（I）由題設(shè)知點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)，所以，b=c,,

故，,

故橢圓方程為 .

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立

消得

設(shè)，坐標(biāo)為，則有

，，又，

假設(shè)在軸上存在這樣的點(diǎn)，使得軸是的平分線，則有

而

將，，代入

有

即

因為，故. 所以存在點(diǎn)，使得的平分線是軸.