Question

設數列{a_n}的前n項和S_n=

1

2

n²+

1

2

n，數列{b_n}滿足b_n=

an

an+m

（m∈N^*），
（1）若b₁，b₂，b₈成等比數列，試求m的值；
（2）是否存在m，使得數列{b_n}中存在某項b_t滿足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差數列？若存在，請指出符合題意的m的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等比關系的確定,等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據b₁，b₂，b₈成等比數列，建立條件關系即可求m的值；
（2）根據等差數列的通項公式建立條件關系即可得到結論．

解答： 解：（1）由S_n=

1

2

n²+

1

2

n得S_n-1=

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1），
兩式相減得a_n=n，當n=1也成立，故a_n=n，則b_n=

an

an+m

=

n

n+m

，
∵b₁，b₂，b₈成等比數列，∴

b

2 2

=b₁b₈，得(

2

2+m

)2=

1

1+m

•

8

8+m

，
解得m=1．
（2）若b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差數列，
則2b₄=b₁+b_t，
即

2×4

4+m

=

1

1+m

+

t

t+m

解得t=

7m+4

m-2

=7+

18

m-2

，
∵t∈N^*，t≥5，
∴m-2=1，2，3，6，9，18，
即m=3，4，5，8，11，20共6個．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的應用，要求熟練掌握相應的通項公式．