Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c．
（Ⅰ）若函數h（x）=f（x）+g（x）是單調遞增函數，求實數b的取值范圍；
（Ⅱ）當b=0時，設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點P，且在P處的切線分別為l₁，l₂，若l₁，l₂與x軸圍城一個等腰三角形，求點P的坐標和c的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）h（x）=lnx+x²+bx+c（x＞0），而h′（x）=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立．從而h（x）_min=2

2

+b，于是有2

2

+b≥0，得b≥-2

2

，問題得解．
（Ⅱ） 設P（x₀，y₀）（x₀＞0），切線l₁，l₂的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂．則k₁=tanα=f′（x₀）=

1

x0

，k₂=tanβ=g′（x₀）=2x₀．由切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形，且k₁，k₂ 均為正數知，該三角形為鈍角三角形，有α=2β，或β=2α．由x₀＞0，得x₀=

2

4

，或x₀=

2

．從而y₀=lnx₀=lln

2

4

，或y₀=lnx₀=ln

2

．求出P（

2

4

，ln

2

4

），代入y=g（x）得c=ln

2

4

-

1

8

．

解答： 解：（Ⅰ）h（x）=lnx+x²+bx+c（x＞0），
∵h（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴h′（x）=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立．
∵h′（x）=

1

x

+2x+b≥2

2

+b（當且僅當x=

2

2

時，取“=”），
即h（x）_min=2

2

+b，
從而有2

2

+b≥0，得b≥-2

2

，
即實數b的取值范圍是[-2

2

，+∞）．
（Ⅱ） 設P（x₀，y₀）（x₀＞0），切線l₁，l₂的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂．
則k₁=tanα=f′（x₀）=

1

x0

，k₂=tanβ=g′（x₀）=2x₀．
由切線l₁，l₂與x軸圍成一個等腰三角形，且k₁，k₂ 均為正數知，
該三角形為鈍角三角形，有α=2β，或β=2α．
∴k₁=

2k1

1-k12

，或，k₂=

2k2

1-k22

，
即

1

x0

=

4x0

1-4x02

，或2x₀=

2 x0

1- 1 x02

．
∵x₀＞0，∴x₀=

2

4

，或x₀=

2

．
從而y₀=lnx₀=lln

2

4

，或y₀=lnx₀=ln

2

．
∴P（

2

4

，ln

2

4

），代入y=g（x）得c=ln

2

4

-

1

8

，
或P（

2

，ln

2

），代入y=g（x）得c=ln

2

-2．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的切線方程問題，導數的應用問題，是一道綜合題．