Question

【題目】已知函數．

（1）判斷函數在點處的切線是否過定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由．

（2）若有最大值，證明：．

Answer 1

【答案】（1）在處的切線過定點，坐標為；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用導數的幾何意義，求出函數在點處的切線方程，根據過定點的直線系方程的判斷方法，即可判斷該切線是否過定點；

（2）先求出函數的導數，判斷其單調性，求出其最大值為，將需證明的不等式等價變形為，令，構造函數

，利用導數求出其最小值，，即得證．

（1），，切點坐標為，

在處的切線方程為，

即，令，得，．

在處的切線過定點．其坐標為．

（2）由題知，的定義域為．

．

若，則恒成立，在上單調遞增，無最大值．

若，令，得（舍）或

當，；當時，，

故在上單調遞增，在上單調遞減，

故，

即．

若證，可證，令，，

則有，即證．

設，則．

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故．，即．