Question

【題目】2019年第十三屆女排世界杯共12支參賽球隊，比賽賽制釆取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍．積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3—0或3—1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3—2取勝的球隊積2分，負隊積1分．9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊和美國隊，中國隊積26分，美國隊積22分．第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為．

（1）第10輪比賽中，記中國隊3—1取勝的概率為，求的最大值點．

（2）以（1）中的作為的值．

（i）在第10輪比賽中，中國隊所得積分為，求的分布列；

（ⅱ）已知第10輪美國隊積3分，判斷中國隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，中國隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（i）見解析（ⅱ）見解析

【解析】

（1）先得出，結合導數得出函數的單調性，進而得出的最大值點；

（2）（i）先得出的可能取值，再得出其相應概率，列出分布列即可；

（ⅱ）若中國隊在第10輪比賽中，獲得積分，則總積分為分，即便美國隊第都獲得分，則總積分為分，則中國隊可以提前一輪奪得冠軍，最后由（i）得出其概率.

（1）

由此

令，得

當時，在上為增函數；

當時，在上為減函數；

所以的最大值點

（2）由（1）知

（i）可取

所以的分布列為

（ⅱ）若，則中國隊輪后的總積分為分，美國隊即便第輪和第輪都積分，則輪過后的總積分是分，，所以，中國隊如果第輪積分，則可提前一輪奪得冠軍，其概率為