Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px的焦點為F，過點F且斜率為1的直線l截得圓：x2+y2＝p2的弦長為2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過點F作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與拋物線C交于A、B兩點，l2與拋物線C交于D、E兩點，M、N分別為弦AB、DE的中點，求|MF||NF|的最小值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝8x（2）32

【解析】

（1）求得拋物線C的焦點，可得直線l的方程，求得圓心（0，0）到直線的距離，由圓內的垂徑定理，結合勾股定理，解方程可得p，進而得到拋物線的方程；

（2）求得焦點F的坐標，由已知可得AB⊥DE，兩直線AB、DE的斜率都存在且均不為0.設直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，故直線AB的方程為y＝k（x﹣2）.聯立拋物線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得M的坐標，同理可得N的坐標，再由兩點的距離公式，結合基本不等式可得所求最小值.

（1）由y2＝2px的焦點為F（，0），

可得直線l的方程為l：y＝x，

圓心到直線l的距離為d，

又d2+14＝p2，可得p＝4，

故拋物線C的方程為y2＝8x；

（2）由（1）知焦點為F（2，0）.

由已知可得AB⊥DE，所以兩直線AB、DE的斜率都存在且均不為0.

設直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，

故直線AB的方程為y＝k（x﹣2）.

聯立方程組，消去x，整理得ky2﹣8y﹣16k＝0，

設點A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2.

因為M（xM，yM）為弦AB的中點，所以yM（y1+y2）.

由yM＝k（xM﹣2），得xM22，故點M（2，），

同理，可得N（4k2+2，﹣4k），

故|NF|4，

|MF|.

所以|MF||NF|41616（|k|）

≥16×232，

當且僅當|k|，即k＝±1時，等號成立.

所以|MF||NF|的最小值為32.