Question

【題目】天津市某中學為全面貫徹“五育并舉，立德樹人”的教育方針，促進學生各科平衡發展，提升學生綜合素養.該校教務處要求各班針對薄弱學科生成立特色學科“興趣學習小組”(每位學生只能參加一個小組)，以便課間學生進行相互幫扶.已知該校某班語文數學英語三個興趣小組學生人數分別為10人10人15人.經過一段時間的學習，上學期期中考試中，他們的成績有了明顯進步.現采用分層抽樣的方法從該班的語文，數學，英語三個興趣小組中抽取7人，對期中考試這三科成績及格情況進行調查.

（1）應從語文，數學，英語三個興趣小組中分別抽取多少人？

（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成績全部及格，其余2人三科成績不全及格.現從這7人中隨機抽取4人做進一步的調查.

①記表示隨機抽取4人中，語文，數學，英語三科成績全及格的人數，求隨機變量的分布列和數學期望；

②設為事件“抽取的4人中，有人成績不全及格”，求事件發生的概率.

Answer 1

【答案】（1）語文數學英語三個興趣小組中分別抽取人人人.（2）①分布列答案見解析，數學期望，②概率為.

【解析】

（1）由語文數學英語三個興趣小組的人數之比為，利用分層抽樣方法確定抽取的人數.

（2）①根據抽取的7人中恰好有5人三科成績全部及格，其余2人三科成績不全及格.得到隨機抽取4人中，語文，數學，英語三科成績全及格的人數可能人，再求得相應概率，列出分布列，再求期望.②設事件為“抽取的人中，三科成績全及格的有人，三科成績不全及格的有人”；事件為“抽取的人中，三科成績全及格的有人，三科成績不全及格的有人”.有，且與互斥，根據①利用互斥事件的概率求解.

（1）因為數學英語三個興趣小組學生人數分別為10人10人15人，

所以語文數學英語三個興趣小組的人數之比為，

因此，采用分層抽樣方法從中抽取人，

應從語文數學英語三個興趣小組中分別抽取人人人.

（2）①依題意，得隨機變量的所有可能取值為.

所以，.

因此，所求隨機變量的分布列為

.

②依題意，設事件為“抽取的人中，三科成績全及格的有人，三科成績不全及格的有人”；事件為“抽取的人中，三科成績全及格的有人，三科成績不全及格的有人”.

則有，且與互斥.

由①知，，

所以

故事件發生的概率為.