Question

【題目】在數列{an}中， （c為常數，n∈N*），且a1 ， a2 ， a5成公比不為1的等比數列． （Ⅰ）求證：數列 是等差數列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）設bn=anan+1 ， 求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為 ，所以an≠0， 則 ，又c為常數，
∴數列 是等差數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
∵a1=1，∴a2= ，a5= ，
∵a1 ， a2 ， a5成公比不為1的等比數列，所以 ，
解得c=0或c=2，當c=0時，an=an+1 ， 不滿足題意，舍去，
所以c的值為2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴ ，
bn=anan+1= = ，
所以數列{bn}的前n項和
Sn= =
【解析】（Ⅰ）通過已知條件，方程去倒數，即可推出數列滿足等差數列的定義，說明數列 是等差數列；（Ⅱ）通過第一問，直接求出a1 ， a2 ， a5 ， 利用等比數列直接求出c的值；（Ⅲ）通過第二問，求出an ， 然后利用bn=anan+1 ， 通過裂項法直接求數列{bn}的前n項和Sn ．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．