Question

【題目】已知D（x0 ， y0）為圓O：x2+y2=12上一點，E（x0 ， 0），動點P滿足 = + ，設動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若動直線l：y=kx+m與曲線C相切，過點A1（﹣2，0），A2（2，0）分別作A1M⊥l于M，A2N⊥l于N，垂足分別是M，N，問四邊形A1MNA2的面積是否存在最值？若存在，請求出最值及此時k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意設P（x，y），則 = + （x0，0）= ．

∴ ，y= ，解得x0= x，y0=2y，

又 + =12，代入可得：3x2+4y2=12，化為： =1．

（2）

聯立 ，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）=0，

可得：m2=3+4k2．A1（﹣2，0）到l的距離d1= ，

A2（2，0）到l的距離d2= ，

則|MN|2= ﹣ =16﹣[ + ﹣ ]

=16﹣ =16﹣ =16﹣ = ．

= + + = = ．

∴四邊形A1MNA2的面積S= = =4 =4 ≤4 ．

當k=0時，取等號．

【解析】（1）由題意設P（x，y），則 = + （x0 ， 0）= ．可得 ，y= ，解得x0= x，y0=2y，又 + =12，代入圓的方程即可得出．（2）聯立 ，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=0，可得：m2=3+4k2 ． A1（﹣2，0）到l的距離d1= ，A2（2，0）到l的距離d2= ，可得|MN|2= ﹣ = . = ．可得四邊形A1MNA2的面積S= ，利用二次函數的單調性即可得出．