Question

【題目】已知函數f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；
（Ⅱ）對任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2， 當x≤﹣2時，x﹣4≥﹣2，即x≥2，所以x∈；
當﹣2＜x＜1時，3x≥﹣2，即x≥﹣ ，所以﹣ ≤x＜1；
當x≥1時，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，所以1≤x≤6；
綜上，不等式f（x）≥﹣2的解集為M={x|﹣ ≤x≤6}；
（Ⅱ）f（x）= ，
令y=x﹣a，當直線經過點（1，3）時，﹣a=2，
所以當﹣a≥2，即a≤﹣2時成立；
當﹣a＜2即a＞﹣2時，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+ ，
所以a≥2+ ，即a≥4，
綜上，a≤﹣2或a≥4．
解法二：（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）設g（x）=f（x）﹣x= ，
因為對任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，
所以﹣a≥g（x）max ，
①當a＞1時，g（x）max=g（a）=﹣2a+4，
所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4，符合a＞1．
②當a≤1時，g（x）max=g（1）=2，
所以﹣a≥2，所以a≤﹣2，符合a≤1，
綜上，實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
【解析】（Ⅰ）通過討論x的范圍，求出各個區間上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函數的形式，令y=x﹣a，通過討論求出a的范圍即可；法二：設g（x）=f（x）﹣x，問題轉化為﹣a≥g（x）max ， 求出g（x）的最大值，得到a的范圍即可．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．