Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若關于x的方程 =a的解集為空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=|x﹣1|+|2x+2|= ，

當x≥1時，由3x+5＞5解得：x＞ ；當﹣1＜x＜1時，由x+3＞5得x＞2 （舍去）．

當x＜﹣1時，由﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2．

所以原不等式解集為{x|x＜﹣2 x＞ }．

（2）解：由（1）中分段函數f（x）的解析式可知：f（x）在區間（﹣∞，﹣1）上單調遞減，

在區間（﹣1，+∞）上單調遞增．

并且f（x）的最小值為f（﹣1）=2，所以函數f（x）的值域為[2，+∞），

從而f（x）﹣4的取值范圍是[﹣2，+∞），

進而 的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪（0，+∞）．

根據已知關于x的方程 =a的解集為空集，所以實數a的取值范圍是（﹣ ，0]．

【解析】（1）化簡函數的解析式為函數f（x）=|x﹣1|+|2x+2|= ，分類討論求得原不等式解集．（2）由（1）中分段函數f（x）的解析式可得f（x）的單調性，由此求得函數f（x）的值域，可得 的取值范圍．再根據關于x的方程 =a的解集為空集，求得實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．