Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），D（1，0），過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F（

2

，0）且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，

OA

•

OB

=

5

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)D的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若

MD

=2

DN

，求直線MN的方程；
（3）設(shè)直線y=kx+2交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若以DP，DQ為鄰邊的平行四邊形DPRQ滿足|PQ|=|DR|，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由A（

2

，

b2

a

），B（

2

，-

b2

a

），利用

OA

•

OB

=2-

b2

a2

=

5

3

，橢圓C的右焦點(diǎn)F（

2

，0），能求出橢圓C的方程．
（2）若直線MN的斜率為0，則

MD

≠2

DN

，若直線MN的斜率不為0，設(shè)MN：x=ty+1，代入

x2

3

+y2=1，得：（t²+3）y²+2ty-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MN的方程．
（3）將y=kx+2代入

y2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直結(jié)合已知條件能求出k．

解答： 解：（1）由已知得A（

2

，

b2

a

），B（

2

，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=2-

b2

a2

=

5

3

，解得

b2

a2

=

1

3

，
又橢圓C的右焦點(diǎn)F（

2

，0），
∴a²=b²+2，∴a²=3，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）若直線MN的斜率為0，則

MD

≠2

DN

，
若直線MN的斜率不為0，設(shè)MN：x=ty+1，
代入

x2

3

+y2=1，得：（t²+3）y²+2ty-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

MD

=2

DN

，得y₁=-2y₂，
由y₁+y₂=-y₂=-

2t

t2+3

，y1y2=-2y22=-

2

t2+3

，
得-2(

2t

t2+3

)2=

-2

t2+3

，∴t=±1，
直線MN的方程為x=±y+1，
∴y=x-1，或y=-x+1．
（3）將y=kx+2代入

y2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，（*）
設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則x3+x4=-

12k

3k2+1

，①，x3x4=

9

3k2+1

，②
由已知得PD⊥QD，即

PD

•

QD

=(x3-1，y3)•（x₄-1，y₄）=0，
又y₃=kx₃+2，y₄=kx₄+2，
∴（k²+1）x₃x₄+（2k-1）（x₃+x₄）+5=0，③
將①②代入③，解得k=-

7

6

，此時(shí)（*）△＞0，
∴k=-

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線斜率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．