Question

在直角坐標系xOy中，過點P（1，2）作傾斜角為45°的直線l與曲線C：x²+y²=1相交于不同的兩點M，N．
（Ⅰ）寫出直線l的參數方程；
（Ⅱ）求

1

|PM|

+

1

|PN|

的值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）由題意可得直線l的參數方程為

x=1+t•cos45° y=2+tsin45°

，化簡可得結果．
（Ⅱ）把直線l的參數方程代入圓C的方程化簡，利用韋達定理可得 t₁+t₂=-3

2

，t₁•t₂=4，再由由參數的幾何意義可得

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

t1

+

1

t2

=

t1+t2

t1•t2

，計算求得結果．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得直線l的參數方程為

x=1+t•cos45° y=2+tsin45°

，即

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

 （t為參數）．
（Ⅱ）把直線l的參數方程

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數）代入圓C：x²+y²=1，
可得 t²+3

2

t+4=0，利用韋達定理可得 t₁+t₂=-3

2

，t₁•t₂=4．
∴由參數的幾何意義可得

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

t1

+

1

t2

=

t1+t2

t1•t2

=

-3 2

4

=-

3 2

4

．

點評：本題主要考查求直線的參數方程，參數的幾何意義，把參數方程化為普通方程的方法，韋達定理的應用，屬于基礎題．