Question

【題目】如圖，在三棱椎中，側(cè)棱底面，，，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)作的平行線(xiàn)，分別交于點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明略；（2）．

【解析】

試題（1）要證線(xiàn)面垂直，就要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，即要證與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直，首先由三棱柱側(cè)棱與底面垂直可得，由等腰三角形性質(zhì)知，從而有，因此即證線(xiàn)面垂直；（2）要求二面角，關(guān)鍵是作出二面角的平面角，一般要找到二面角的一個(gè)面的垂線(xiàn)，則平面角易作，因此我們連接，作于，由（1）可證平面，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可得所求二面角的平面角，并在相應(yīng)直角三角形中可求得此角大小.

試題解析：(1)因?yàn)?/span>AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，

所以BC⊥AD.

由題可知MN∥BC，

所以MN⊥AD.

因?yàn)?/span>AA1⊥平面ABC，MN平面ABC，

所以AA1⊥MN.

又AD，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交于點(diǎn)A，

所以MN⊥平面ADD1A1.

(2)解　如圖，連結(jié)A1P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥A1P于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥A1M于點(diǎn)F，連結(jié)AF.

由(1)知，MN⊥平面AEA1，

所以平面AEA1⊥平面A1MN.

因?yàn)槠矫?/span>AEA1∩平面A1MN＝A1P，AE⊥A1P，AE平面AEA1，

所以AE⊥平面A1MN，則A1M⊥AE，又AE∩EF＝E，

所以A1M⊥平面AEF，則A1M⊥AF，

故∠AFE為二面角A－A1M－N的平面角(設(shè)為θ)．

設(shè)AA1＝1，則由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，

D為BC的中點(diǎn)，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.

又P為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，

所以AP＝，AM＝1.

在Rt△AA1P中，A1P＝，

在Rt△A1AM中，A1M＝，

從而AE＝，

AF＝，

所以sinθ＝.

因?yàn)椤?/span>AFE為銳角，

所以.

故二面角A－A1M－N的余弦值為.