Question

【題目】拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線過點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其準(zhǔn)線的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線的方程為；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）將代入，得出，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程.

（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得出，利用韋達(dá)定理可得出，，對拋物線方程求導(dǎo)，進(jìn)而求出過，的拋物線的切線方程，再聯(lián)立兩方程求出兩條切線的交點(diǎn)，得出兩條切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.

（Ⅰ）由，得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線的方程為.

（Ⅱ）根據(jù)題意直線的斜率一定存在，又焦點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立

，得，.

設(shè)，，則，.

∴.

由得，，過，的拋物線的切線方程分別為

，

即，兩式相加，得

，化簡，得，即，

所以，兩條切線交于點(diǎn)，該點(diǎn)顯然在拋物線的準(zhǔn)線：上.