Question

【題目】已知函數.

(1)若在上單調遞減，求的取值范圍；

(2)若在處取得極值，判斷當時，存在幾條切線與直線平行，請說明理由；

(3)若有兩個極值點，求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意可得恒成立 ，構造函數，令,由導函數的解析式可知在遞增,在遞減, 據此計算可得實數a的取值范圍.

(Ⅱ) 由在處取得極值可得.原問題等價于求解在區間內解的個數，結合導函數的解析式研究函數的單調性和函數在特殊點處的函數值即可確定切線的條數.而事實情況下檢驗時函數不存在極值點，所以不存在滿足題意的實數，也不存在滿足題意的切線.

(Ⅲ)若函數有兩個極值點,不妨設，易知,結合函數的解析式和零點的性質即可證得題中的不等式.

(Ⅰ)由已知,恒成立

令,

則,

,令,解得:,令,解得:,

故在遞增,在遞減,

，由恒成立可得.

即當在上單調遞減時,的取值范圍是.

(Ⅱ)在處取得極值，則，可得.

令，即 .

設，則.

故在上單調遞增，在上單調遞減，

注意到，，

則方程在內只有一個實數根，

即當時，只有一條斜率為且與函數圖像相切的直線.

但事實上，若，則，

，

故函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

且，故函數在區間上恒成立，

函數在區間上單調遞減，即函數不存在極值點，

即不存在滿足題意的實數，也不存在滿足題意的切線.

(Ⅲ)若函數有兩個極值點,不妨設，

由(Ⅰ)可知,且：

①,

②,

由①-②得:,

即 ,

由①+②得:,

.