Question

【題目】甲、乙兩超市同時開業，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為 (n2－n＋2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多a萬元．

(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；

(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現在第幾年？

Answer 1

【答案】（1）an＝bn＝a(n∈N*)（2）第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購

【解析】

(1)假設甲超市前n年總銷售額為Sn，則Sn＝(n2－n＋2)(n≥2)，因為n＝1時，a1＝a，則n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故an＝又b1＝a，n≥2時，bn－bn－1＝a，故bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋a＋…＋a＝a＝a＝a，顯然n＝1也適合，故bn＝a(n∈N*)．

(2)當n＝2時，a2＝a，b2＝a，有a2>b2；n＝3時，a3＝2a，b3＝a，有a3>b3；當n≥4時，an≥3a，而bn<3a，故乙超市有可能被甲超市收購．

當n≥4時，令an>bn，則(n－1)a>a

n－1>6－4·.即n>7－4·.又當n≥7時，0<4·<1，

故當n∈N*且n≥7時，必有n>7－4·.

即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購．