Question

【題目】已知函數，其中．

（I）求的單調區間；

（Ⅱ）若R上有兩個不同的零點，且，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見解析（Ⅱ）．

【解析】

（I）求導得,討論和即可解得單調區間;

（Ⅱ）要使得R上有兩個不同的零點，且，由（I）可知取得極小值，極小值小于0,可解得.借助引理1：;引理2：證明存在，使．，使．即證得符合題意.

（I）．

當時，，在R上單調遞減；

當時，由解得，

當時，，

當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上，時，在R上單調遞減；

時在上單調遞減，在上單調遞增．

（Ⅱ）引理1：．

證明：令，

則，，

在上單調遞增，又，

．在上單調遞增，

又，．

引理2：．

證明：．

令，

則，在上單調遞減．

，故得證．

下求實數的取值范圍．由（1）知要使有兩個零點，，

此時，．

令，解得．

又，，使．

由引理1和引理2知：

，．

使

．

，使．

綜上：．