Question

【題目】已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點分別在棱上運動，且滿足：，.

（1）求證：四點共面，并證明∥平面.

（2）是否存在點使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在點使之成立.見解析

【解析】

(1) 在線段上分別取點,使得,進而得到與即可.

(2) 以為原點,分別以,及過且與平行的直線為軸建立空間直角坐標系,再求解平面的法向量與平面的法向量,再設,,再根據二面角的計算方法分析是否存在使得二面角為的余弦值為即可.

解：（1）證法1：在線段上分別取點,使得,易知四邊形是平行四邊形,所以,聯結,

則,且

所以四邊形為矩形,故,同理,

且,故四邊形是平行四邊形,所以,所以

故四點共面

又,平面,平面,

所以平面.

證法2：因為直棱柱的底面是菱形,∴,底面,設交點為,以為原點,分別以,及過且與平行的直線為軸建立空間直角坐標系.則有,,,,設,,則,,,,,,所以,故四點共面.又,平面,平面,所以平面.

（2）平面中向量,,設平面的一個法向量為,則,可得其一個法向量為.

平面中,,,設平面的一個法向量為

,則,所以取其一個法向量.

若,則,

即有,,解得,故不存在點使之成立.