Question

【題目】四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，二面角S-BD-C的余弦值為．

（I）證明：平面平面SBD；

（Ⅱ）求二面角A-SD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）見解析（Ⅱ）

【解析】

(I) 連接AC，交BD于點O．連接SO易證得,即平面SAO,得到,利用余弦定理解得,由可證得,即可得到平面SBD,即可證得結論;

(Ⅱ)建系,設和分別為平面SAD、平面SCD的法向量，求出法向量,利用公式計算即可得出結果.

（Ⅰ）連接AC，交BD于點O．連接SO菱形ABCD中，，且O是AC和BD的中點．

因為，所以，

是二面角S-BD-C的平面角，

即，．

又，所以平面SAC，．

中，由余弦定理知：

．

所以，即，，

又，所以平面SBD，

又平面SAB，所以平面SAB⊥平面SBD．

（Ⅱ）如圖，分別以，為x，y軸的正方向，建立空間直角坐標系．

則點，，

，，

，．

設和分別為平面SAD、平面SCD的法向量，

則由，得，

取，

由，得．

取．

．

故二面角A-SD-C的余弦值為．