Question

【題目】已知數列中，，其前項和滿足：.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求證： ；

（3）設(為非零整數，)，是否存在確定的值，使得對任意，有恒成立.若存在求出的值，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析.（3）存在，

【解析】

（1）由變形為，即，再利用等差數列的定義求解.

（2）由（1）知，得到 ，然后利用裂項相消法求和再放縮即可.

（3）由，得到， 將對任意，都有恒成立，轉化為恒成立，即恒成立. 再分為奇數和偶數兩種情況討論求解

（1）由已知可得，

即：且，

∴數列是以為首項，公差為的等差數列，

∴.

（2）由（1）知，

∴ ，

∴，

==，

=，

∵ ∴，

∴，

即 .

（3）∵，

∴，

假設存在確定的值，使得對任意，都有恒成立，

即，對任意恒成立，

即，對任意恒成立，

即：，對任意恒成立.

①當為奇數時，即恒成立，

當且僅當時，有最小值為，

∴，

②當為偶數時，即恒成立，

當且僅當時，有最大值，

∴，

即，

又為非零整數，則.

綜上所述：存在，使得對任意，都有.