Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當x＞0時，f（x）＞1
（1）求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若f（2）=3，解不等式f（a²+a-5）＜2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)之間的關(guān)系即可證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若f（2）=3，將不等式f（a²+a-5）＜2轉(zhuǎn)換為f（a²+a-5）＜f（1），利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
∴f（m+n）-f（m）=f（n）-1，
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1，
∵當x＞0時，f（x）＞1
∴f（x₂-x₁）＞1，即f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞0，
則f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）f（2）=3，則f（2）=f（1）+f（1）-1=3，
即2f（1）=4，則f（1）=2，
則不等式f（a²+a-5）＜2等價為f（a²+a-5）＜f（1）．
∵函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴a²+a-5＜1，即a²+a-6＜0．
解得-3＜a＜2．
故不等式的解集為（-3，2）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)抽象函數(shù)，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．