Question

設命題p：函數f（x）=3x²-2ax-1在區間（-∞，1]上單調遞減；命題q：函數y=

x2+ax+1

的定義域是R，如果命題“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：p為真命題?f（x）圖象的對稱軸x=

a

3

≥1．q為真命題?△=a²-4≤0恒成立．命題“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，可知：p和q有且只有一個是真命題．

解答： 解：p為真命題?f（x）圖象的對稱軸x=

a

3

≥1?a≥3．
q為真命題?△=a²-4≤0恒成立?-2≤a≤2．
∵命題“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
∴p和q有且只有一個是真命題．
p真q假?

a≥3 a＜-2或a＞2

?a≥3；
p假q真?

a＜3 -2≤a≤2

?-2≤a≤2
綜上所述：a∈[-2，2]∪[3，+∞）．

點評：本題考查了二次函數的性質、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎題．