Question

【題目】已知函數是定義域在上的奇函數，且．

（1）用定義證明：函數在上是增函數，

（2）若實數滿足，求實數的范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據求得，根據單調性的定義，計算，由此證得函數在上為增函數.

（2）利用函數的奇偶性化簡，再利用函數的單調性結合函數的定義域列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（1）∵函數是定義域為（-1，1）上的奇函數，

∴f（0）=0，∴b=0，

∴

任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，

∴f（x1）-f（x2）=-

==，

∵a＞0，-1＜x1＜x2＜1，

∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+＞0，1+＞0，

∴函數f（x）在（-1，1）上是增函數．

（2）∵f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1），

∵函數是定義域為（-1，1）上的奇函數，且a＞0．

∴f（2t-1）＜f（1-t），

∵函數f（x）在（-1，1）上是增函數，

∴，

解得．

故實數t的范圍是．