Question

【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且平面.

（1）證明：為中點(diǎn)；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）銳二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，利用，證得四邊形為平行四邊形，則，所以為的中點(diǎn)；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱長為2，利用兩個(gè)面的法向量求解即可.

試題解析：

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四邊形為平行四邊形，則，所以為的中點(diǎn).

（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱長為2，則，可得，，設(shè)是平面的法向量，則.令，得.

易得平面的一個(gè)法向量為，

所以 .

故所求銳二面角的余弦值為.