Question

【題目】在△ABC中，已知tanA，tanB是關于x的方程x2+（x+1）p+1=0的兩個實根．
（1）求角C；
（2）求實數p的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，則有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，

而 ，又A，B是△ABC的內角，

所以 ，則 ．

（2）解：在△ABC中由（1）知 ，則 ，即tanA，tanB∈（0，1），…（6分）

則關于x的方程x2+（p+1）x+1=x2+px+p+1=0在區間（0，1）上有兩個實根，

設f（x）=x2+px+p+1，則函數f（x）與x軸有兩個交點，且交點在（0，1）內；

又函數f（x）的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為x=﹣ ，

故其圖象滿足： ，

解之得： ．

所以實數p的取值集合為 ．

【解析】（1）先由根系關系得出tanA與tanB和與積，由正切的和角公式代入求值，結合A，B的范圍即可計算得解A+B的值，利用三角形內角和定理即可求C的值．（2）由（1）可求A，B的取值范圍，進而得方程兩根的取值范圍，構造函數f（x）=x2+px+p+1，則函數的兩個零點均在區間（0，1）內，利用二次函數的性質構造關于p的不等式組可以求出滿足條件的p的范圍．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式的相關知識點，需要掌握兩角和與差的正切公式：才能正確解答此題．