Question

【題目】若函數f（x）=x2+ax+ 在（ ，+∞）上是增函數，則a的取值范圍是（ ）
A.[﹣1，0]
B.[﹣1，+∞）
C.[0，3]
D.[3，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由f（x）=x2+ax+ ，得f′（x）=2x+a﹣ = ，

令g（x）=2x3+ax2﹣1，

要使函數f（x）=x2+ax+ 在（ ，+∞）是增函數，

則g（x）=2x3+ax2﹣1在x∈（ ，+∞）大于等于0恒成立，

g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），

當a=0時，g′（x）≥0，g（x）在R上為增函數，則有g（ ）≥0，解得 + ﹣1≥0，a≥3（舍）；

當a＞0時，g（x）在（0，+∞）上為增函數，則g（ ）≥0，解得 + ﹣1≥0，a≥3；

當a＜0時，同理分析可知，滿足函數f（x）=x2+ax+ 在（ ，+∞）是增函數的a的取值范圍是a≥3（舍）．

故選：D．

【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．