Question

【題目】已知函數f（x）=mex﹣lnx﹣1．
（1）當m=1，x∈[1，+∞）時，求y=f（x）的值域；
（2）當m≥1時，證明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=1時，f（x）=ex﹣lnx﹣1，f′（x）=ex﹣ ，

故f′（x）＞0在x∈[1，+∞）恒成立，

故f（x）在[1，+∞）遞增，f（x）的最小值是f（1）=e﹣1，

故f（x）在值域是[e﹣1，+∞）

（2）解：當m≥1時，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．

要證明f（x）＞1，只需證明ex﹣lnx﹣2＞0．

以下給出三種思路證明ex﹣lnx﹣2＞0．

思路1：設g（x）=ex﹣lnx﹣2，則g′（x）=ex﹣ ．

設h（x）=ex﹣ ，則h′（x）=ex+ ＞0，

所以函數h（x）=g′（x）=ex﹣ 在（0，+∞）上單調遞增．

因為g′（ ）= ﹣2＜0，g'（1）=e﹣1＞0，

所以函數g′（x）在（0，+∞）上有唯一零點x0，且x0∈（ ，1）．

因為g'（x0）=0時，所以 = ，即lnx0=﹣x0．

當x∈（0，x0）時，g'（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，g'（x）＞0．

所以當x=x0時，g（x）取得最小值g（x0）．

故g（x）≥g（x0）= ﹣lnx0﹣2= +x0﹣2＞0．

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1．

思路2：先證明ex≥x+1（x∈R）．

設h（x）=ex﹣x﹣1，則h'（x）=ex﹣1．

因為當x＜0時，h'（x）＜0，當x＞0時，h'（x）＞0，

所以當x＜0時，函數h（x）單調遞減，

當x＞0時，函數h（x）單調遞增．

所以h（x）≥h（0）=0．

所以ex≥x+1（當且僅當x=0時取等號）．

所以要證明ex﹣lnx﹣2＞0，

只需證明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．

下面證明x﹣lnx﹣1≥0．

設p（x）=x﹣lnx﹣1，則p′（x）=1﹣ = ．

當0＜x＜1時，p'（x）＜0，當x＞1時，p'（x）＞0，

所以當0＜x＜1時，函數p（x）單調遞減，當x＞1時，函數p（x）單調遞增．

所以p（x）≥p（1）=0．

所以x﹣lnx﹣1≥0（當且僅當x=1時取等號）．

由于取等號的條件不同，

所以ex﹣lnx﹣2＞0．

綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1

【解析】（1）求得m=1時，求出函數的導數，根據函數的單調性求出f（x）的值域即可；（2）：運用分析法證明，當m≥1時，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．要證明f（x）＞1，只需證明ex﹣lnx﹣2＞0，

思路1：設g（x）=ex﹣lnx﹣2，求得導數，求得單調區間，可得最小值，證明大于0即可；

思路2：先證明ex≥x+1（x∈R），設h（x）=ex﹣x﹣1，求得導數和單調區間，可得最小值大于0；證明x﹣lnx﹣1≥0．設p（x）=x﹣lnx﹣1，求得導數和單調區間，可得最小值大于0，即可得證．

【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．