Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

2 5

5

，F₁、F₂是橢圓的左、右兩個焦點，B是上頂點，且

BF1

•

BF2

=-3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為1且與圓O：x²+y²=

1

2

有公共點的直線l與橢圓交于點A、B，求|AB|的范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

c a = 2 5 5 a2cos∠F2BF1=-3 sin 1 2 ∠F2BF1= 2 5 5

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線l的方程為y=x+m，由1與圓O：x²+y²=

1

2

有公共點，解得-1≤m≤1，聯立

y=x+m x2 5 +y2=1

，得6x²+10mx+5m²-5=0，利用橢圓弦長公式能求出|AB|的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

2 5

5

，
F₁、F₂是橢圓的左、右兩個焦點，B是上頂點，且

BF1

•

BF2

=-3，
∴

c a = 2 5 5 a2cos∠F2BF1=-3 sin 1 2 ∠F2BF1= 2 5 5

，
解得a=

5

，c=2，b=1，
∴橢圓C的方程為：

x2

5

+y2=1．
（2）設直線l的方程為y=x+m，
聯立

y=x+m x2+y2= 1 2

，得4x²+4mx+2m²-1=0，
∵1與圓O：x²+y²=

1

2

有公共點，
∴△=16m²-16（2m²-1）≥0，
解得-1≤m≤1，
聯立

y=x+m x2 5 +y2=1

，得6x²+10mx+5m²-5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

5m

3

，x1x2=

5m2-5

6

，
∴|AB|=

(1+1)[(- 5m 3 )2-4• 5m2-5 6 ]

=

60-10m2 9

，
∵-1≤m≤1，
∴

5 2

3

≤|AB|≤

2 15

3

，
∴|AB|的取值范圍是[

5 2

3

，

2 15

3

]．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查弦長的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．