Question

已知直線l：x-

3

y+1=0，一個圓的圓心C在x軸正半軸上，且該圓與直線l和y軸均相切．
（1）求該圓的方程；
（2）若直線：mx+y+

1

2

m=0與圓C交于A，B兩點，且|AB|=

3

，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設出圓心c（a，0），a＞0，根據半徑r的幾何關系進行判斷，從而求出半徑r，即可得到圓的方程；
（2）由圓的方程找出圓心坐標和半徑r，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，由圓的性質得到弦的一半，弦心距及圓的半徑構成直角三角形，由求出的d，圓的半徑r，以及|AB|的一半，利用勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答： 解：（1）設圓心c（a，0），a＞0，半徑為r，
∵該圓與直線l和y軸均相切，
∴

|a+1|

1+3

=a，
∵a＞0，
∴a=1，
∴圓的方程為（x-1）²+y²=1
（2）由圓的方程找出圓心坐標為（1，0），半徑r=1，
所以圓心到直mx+y+

1

2

m=0的距離d=

| 3 2 m|

m2+1

，
根據勾股定理得(

3

2

)2+（

| 3 2 m|

m2+1

）²=1，解得：m=±

2

4

．

點評：此題主要考查圓的切線的方程，考查了直線與圓相交的性質，點到直線的距離公式及勾股定理，直線與圓相交時，往往根據弦心距，弦的一半及圓的半徑構成的直角三角形，利用勾股定理解決問題．