Question

已知動圓過點M（-

3

，0），且與圓N：（x-

3

）²+y²=16相內切．
（Ⅰ）求動圓的圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）已知點A（2，0），點B（1，0），過點B且斜率為k₁（k₁≠0）的直線l與（Ⅰ）中的軌跡相交于C、D兩點，直線AC、AD分別交直線x=3于E、F兩點，線段EF的中點為Q．記直線QB的斜率為k₂，求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程,圓的切線方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）根據兩圓內切的性質，算出動圓圓心到M，N的距離之和等于常數4，由此可得軌跡為以M，N焦點的橢圓，利用橢圓的基本概念加以計算即可得到所求軌跡方程．
（Ⅱ）設直線l：y=k₁（x-1），聯立

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得（4k₁²+1）x²-8k₁²x+4k₁²-4=0，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=

8k12

4k12+1

，x1 x2=

4k12-4

4k12+1

，直線AC的方程為：y=

y1

x1-2

(x-2)，直線AD的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)，令x=3，得k₂=

1

4

•

y1x2+y2x1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

，由此能證明k₁•k₂為定值-

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）圓N：（x-

3

）²+y²=16，圓心為N（

3

，0），半徑為r=4，
設動圓與定圓切于點A
∵動圓過點M（-

3

，0），且與圓N：（x-

3

）²+y²=16相內切，
∴|PN|+|AP|=4，
∵|PA|=|PM|，
∴|PN|+|PM|=4（定值）＞|MN|=2

3

∴動點P的軌跡為以M、N為焦點的橢圓
由2a=4，c=

3

，得b=1
∴動圓的圓心P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵點A（2，0），點B（1，0），
過點B且斜率為k₁（k₁≠0）的直線l與

x2

4

+y2=1相交于C、D兩點，
∴設直線l：y=k₁（x-1），
聯立

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得（4k₁²+1）x²-8k₁²x+4k₁²-4=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=

8k12

4k12+1

，x1 x2=

4k12-4

4k12+1

，
直線AC的方程為：y=

y1

x1-2

(x-2)，
直線AD的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得E（3，

y1

x1-2

），F（3，

y2

x2-2

），
∴Q（3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)），
∴k₂=

1 2 ( y1 x1-1 + y2 x2-1 )

2

=

1

4

•

y1x2+y2x1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

k1(x1-1)x2+k1(x2-1)x1-2[k1(x1-1)+k1(x2-1)]

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2k1x1x2-3k1(x1+x2)+4k1

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2k1• 4k12-4 4k12+1 -3k1• 8k12 4k12+1 +4k1

4k12-4 4k12+1 - 16k12 4k12+1 +4

=

1

4

•

-4k1 4k12+1

4k12 4k12+1

=-

1

4k1

，
∴k₁•k₂=-

1

4

．
∴k₁•k₂為定值-

1

4

．

點評：本題給出動圓滿足的條件，求圓心的軌跡方程．考查兩直線斜率的乘積為定值的證明，考查了圓與圓的位置關系、橢圓的定義與標準方程和動點軌跡方程的求法等知識．